Persamaan linear yang paling sederhana adalah menggunakan satu variabel. Persamaan tersebut dapat ditulis sebagai bentuk di mana dan berperan sebagai konstantanya. Penyelesaian persamaan linear satu variabel tersebut dengan

Sebagai contohnya.

Ambil kemudian persamaan awal ; ;

Langkah di atas merupakan cara mengecek jawaban untuk persamaan linear satu variabel ini. Materi yang akan menggunakan persamaan linear untuk tingkat lanjut adalah aljabar linear. Sebab salah satu kajian utama dalam salah satu topiknya merupakan sistem persamaan linear dan penyelesaiannya.

Sedangkan bentuk umum persamaan linear di mana dan

Persamaan Linear 

Kita tidak akan membahas aljabar linear sebagaimana yang ditulis oleh Howard Anton pada edisi 7 Dasar-Dasar Aljabar Linearnya. Sebenarnya persamaan linear merupakan hal yang sederhana. Seorang penghitung dapat menggunakannya sebagai solusi dalam memecahkan masalah dalam kehidupan sehari-hari.

Sebagai contoh begini, Anda ingin membeli ikan hias. Satu ekor ikan seharga 8000 rupiah. Sedangkan uang yang Anda punyai sebanyak 40.000; jika ingin membeli ikan semuanya, maka Anda dapat menghitung akan mendapat berapa ekor.

Jadi andai Anda ingin membeli ikan semuanya, maka akan memperoleh sebanyak 5 ekor. 

Hei, lihat, baru saja seseorang telah menggunakan materi persamaan linear yang dianggap rumit. Akan lebih baik lagi jika memahami pula sifat-sifat dari persamaan linear tersebut.

Persamaan linier mempunyai ciri-ciri antara sisi kiri dan sisi kanan dibatasi oleh tanda sama dengan. Mudah untuk mengingat hal ini, persamaan artinya sama dengan. 

  1. Persamaan linear menggunakan tanda sama dengan (=)
  2. Persamaan linear tidak akan berubah tanda 

Contoh Persamaan Linear dan Penyelesaian

,

Untuk mengeceknya, masukkan nilai hasil ke dalam persamaan , .

, , , . Cara ceknya sama dengan contoh pertama, tinggal subtitusikan hasil dalam persamaan tersebut.

, , ,
Model pecahan seperti pada contoh ini dapat diubah ke dalam bentuk persamaan desimal dengan cara melakukan perkalian silang. Perhatikan bahwa sebagai pembilang sisi kiri dikalikan dengan   sebagai penyebut sisi kanan. Setelah itu lakukan pemecahan masalah seperti pada contoh pertama dan kedua.

Dengan berbagai macam persamaan linear, persoalan dalam kehidupan sehari-hari akan menjadi mudah. Coba dalam beberapa kasus  di dunia nyata, menggunakan penyelesaian matematika khususnya persamaan linear ini. Pasti seru!

Hubungan Dua Garis Lurus  pada Sistem Persamaan Linear Dua Variabel (SPLDV)

Dalam beberapa kondisi, sistem persamaan linear dua variabel dapat mempunyai satu dan hanya satu penyelesaian, tidak memiliki penyelesaian sama sekali, serta memiliki tak hingga penyelesaian. Hal tersebut dapat dilihat dari persamaan yang terjadi.

Kasus pertama adalah mempunyai satu saja penyelesaian. Lihatlah persamaan pertama dengan kedua. Jika memiliki bentuk maka hanya akan mempunyai satu penyelesaian. Artinya kedua garis yang terbentuk akan perpotongan pada satu titik saja.

Kasus kedua adalah tidak mempunyai penyelesaian sama sekali. Dalam bentuk persamaan garis yang dibentuk adalah sejajar. Sehingga tidak akan terpotong di titik mana pun, dalam arti lain: tidak punya penyelesaian.

Kasus ketiga adalah punya tak hingga penyelesaian.   akan membuat garis berimpitan. Maka hanya tampak seperti satu garis saja. Oleh karena itu, pada persamaan linear dua variabel yang punya pola seperti ini akan mempunyai tak hingga penyelesaian.

Cara menyelesaikan sistem persamaan linear dua variabel secara umum digunakan ada 3 macam. Meski pada tingkat lanjut ada cara mencari penyelesaian lainnya. Beberapa cara tersebut adalah subtitusi, eliminasi, dan campuran.

Penyelesaian Sistem Persamaan Linear Dua Variabel

  1. Subtitusi dilakukan dengan mencari salah satu variabel dengan memasukkan satu persamaan ke persamaan yang lain. 

Sebagai contoh. Diberikan dua persamaan
1)
2) .

Cara mudah menyelesaikan persamaan ini adalah memasukkan persamaan dengan koefisien rendah ke persamaan ddengan koefisien tinggi.

Ubah dulu . Masukkan tersebut ke dalam pada persamaan lain. Sehingga hasilnya menjadi:

dari sini dapat dilihat, bahwa variabel sudah hilang dari persamaan

Setelah itu tinggal selesaikan sebagaimana biasanya, tujuannya adalah mencari berapa nilai . Dari persamaan setelah subtitusi di atas akan menghasilkan .

Kita sudah mendapat setelah itu mencari nilai

Caranya sama dengan subtitusi pertama tadi, ambil sembarang persamaan, misalnya dengan koefisien yang rendah.

Dengan cara subtitusi tersebut, kedua persamaan mempunyai penyesalaian di dan .

  1. Cara kedua adalah dengan eliminasi. Sebagaimana namanya, eliminasi adalah menghilangkan salah satu variabel. Dari contoh dua persamaan di atas akan kita selesaikan dengan cara eliminasi.
X1
X3

Perhatikan bahwa terdapat perkalian untuk persamaan kedua, hal tersebut dilakukan untuk menyamakan antar koefisien. Setelah koefisien dari sama, maka kurangilah persamaan pertama dengan persamaan kedua. Hasilnya adalah .

Setelah mendapatkan hasil dari eliminasi pertama yakni lakukan eliminasi kedua untuk mengetahui nilai dari . Sehingga yang dihilangkan adalah variabel , samakan koefisien variabel biar bisa dikurangi habis.

X1
X2

Hasil pengurangan adalah atau .

Hasil penyelesaian kedua persamaan dengan cara eliminasi adalah sama, dan .

  1. Cara ketiga yang paling umum digunakan adalah campuran. Yakni kita eliminasi dulu untuk mengetahui nilai salah satu variabel, kemudian langsung disubtitusikan ke dalam salah satu persamaan untuk mengetahui nilai variabel lainnya. Cara inilah yang paling sering digunakan.

Guna merancang materi selanjutnya, setelah persamaan linear satu variabel, dua variabel, akan ada sistem persamaan linear tiga variabel dan lebih. Jika telah paham dengan konsel persamaan linear, tidak akan sulit masuk tingkat lebih tingginya.

Pertidaksamaan Linear 

Satu ciri paling jelas untuk pertidaksamaan linear adalah adanya variabel yang antara sisi kiri dan kanan dibatasi oleh tanda pertidaksamaan (). Pertidaksamaan linear disebut juga sebagai kalimat terbuka, karena hasilnya tidak merujuk pada satu pengertian saja. 

Contoh:

Dapat dilihat dari contoh di atas, itu merupakan bentuk dari sistem pertidaksamaan linear untuk satu variabel. Jadi hanya ada satu variabel yaitu yang berderajat satu. 

Petidaksamaan linear ada juga yang dua variabel dan lebih. Yang perlu diketahui dalam menyelesaikan pertidaksamaan adalah terkait pengurangan dan pembagian dengan bilangan bertanda negatif (-). Karena akan berakibat berubahnya tanda pertidaksamaan.

Contoh.

Ketika angka 10 dibagi dengan negatif dua (-2) maka tanda pertidaksamaan berubah dari kurang dari menjadi lebih dari. Ingatlah bahwa menghubungkan antara satu pertidaksamaan dengan pertidaksamaan lainnya adalah menggunakan tanda ekuivalen (). Sedangkan untuk pertidaksamaan dua variabel atau lebih, dapat diselesaikan dengan langkah yang sama seperti persamaan. Demikianlah beberapa ringkasan tentang materi persamaan linear dan pertidaksamaan linear.