Pengertian Relasi

Di suatu warung makan, Ani, Ana, Budi, dan Roy duduk pada suatu meja yang telah disediakan. Mereka memesan berbagai menu makanan dan minuman yang tersedia. Ani memesan rujak dan es teh, Ana memesan ayam geprek dan es jeruk, Budi memesan ayam bakar dan es jeruk, sedangkan Roy memesan rujak dan kopi.

Dari ilustrasi tersebut, adakah hubungan antara makanan dan minuman yang mereka pesan dengan mereka sendiri? Jika ada, bagaimana kalian menyebut hubungan tersebut? Coba amatilah dan galilah apa yang terjadi dengan ilustrasi tersebut!

Menyinggung terkait materi himpunan, cobalah untuk mengamati kata “memesan”. Bukankah kata itu telah menghubungkan antara dua himpunan, yaitu himpunan orang {Ani, Ana, Budi, dan Roy} dan himpunan menu di warung {Rujak, Ayam geprek, Ayam bakar, es teh, es jeruk, dan kopi}.

Dari ilustrasi tersebut, kita dapat menyimpulkan bahwa kata “memesan” merupakan relasi yang menghubungkan antara dua himpunan tersebut.

Menyatakan Relasi

Zaad, Agung, dan Roma adalah pedagang sayur di suatu pasar tradisional. Zaad menjual bayam dan sawi, Agung menjual wortel, sedangkan Roma menjual taoge dan sawi.

Himpunan A = {Zaad, Agung, dan Roma} dan himpunan B = {bayam, sawi, wortel, taoge}. Kita bisa menyatakan ilustrasi dari relasi kedua himpunan tersebut ke dalam berbagai bentuk, yaitu :

  • Diagram Panah

 Pada gambar tersebut dapat kita lihat bahwa relasi “menjual” pada himpunan A ke himpunan B dapat dinyatakan dengan menggunakan diagram panah.

  • Himpunan pasangan berurutan

Relasi yang ditunjukkan pada gambar diagram panah di atas dapat kita nyatakan dalam himpunan pasangan berurutan. {(Zaad, Bayam), (Zaad, Sawi), (Agung, Wortel), (Roma, Sawi), (Roma, Taoge)}.

  • Diagram kartesius

Selain itu, kita juga dapat menyatakan suatu bentuk relasi kedalam bentuk diagram kartesius. Coba amati gambar dibawah ini!

Relasi “menjual” dari himpunan A ke himpunan B pada gambar diagram kartesius tersebut ditunjukkan dengan titik berwarna. Untuk garis horizontal menunjukkan anggota himpunan A dan untuk garis vertikal menunjukkan anggota himpunan B.

Pengertian Fungsi

Diagram tersebut menunjukkan relasi “bulan kelahiran” yang menghubungkan antara himpunan A dan himpunan B. Di mana setiap nama-nama yang ada dalam himpunan A mempunyai bulan kelahiran yang ada di himpunan B. Jadi, setiap anggota yang ada di himpunan A memiliki pasangan dengan anggota himpunan B. Dan setiap nama memiliki satu bulan kelahiran, jadi setiap anggota himpunan A mempunyai pasangan tepat satu dengan anggota himpunan B.

Jadi, hubungan atau relasi yang seperti itu disebut dengan fungsi atau pemetaan dari himpunan A ke himpunan B. Himpunan A = {Nani, Intan, Sisi, Fifi, dan Lala} disebut dengan domain (daerah asal). 

Himpunan B = {Januari, Februari, Maret, Juni, Juli, dan Mei} disebut dengan kodomain (daerah kawan). Dan anggota dari himpunan B atau daerah kawan yang memiliki pasangan atau yang berhubungan dengan anggota himpunan dari himpunan A atau daerah asal disebut dengan range (daerah hasil).

Notasi Fungsi

Apabila A dan B merupakan 2 himpunan yang dihubungkan dengan fungsi f, maka fungsi dari A ke B dinotasikan sebagai berikut :

Untuk  f:AB artinya yaitu fungsi f memetakan himpunan A ke himpunan B.

Apabila xA (baca: x anggota a) maka pasangan dari x dalam himpunan B dinyatakan dengan fx. Dalam hal ini fx disebut sebagai bayangan (peta) dan x oleh f yang dinotasikan sebagai berikut :

Penulisan notasi diatas dibaca “fungsi 𝑓 memetakan 𝑥 ke 𝑓(𝑥).” Dan jika Penulisan notasi diatas dibaca “fungsi f memetakan x ke fx.” Dan jika notasi fungsi tersebut kita tulis dalam bentuk rumus maka didapatkan sebagai berikut :

Untuk 𝑓(𝑎) artinya bayangan (peta) dari 𝑎 oleh 𝑓 atau nilai 𝑓 untuk 𝑥=𝑎.

Memahami rumus atau konsep dari fungsi tidak harus menghafal. Kalian hanya perlu mengerti tentang konsep fungsi dalam hubungannya (relasi) dengan himpunan. Bahwa fungsi memiliki satu dan hanya satu pasangan pada satu himpunan.

Bentuk Fungsi

Bentuk suatu fungsi dapat ditentukan jika nilai dan data fungsi diketahui dengan jelas. Ada 3 macam bentuk fungsi yang terbentuk yaitu :

a. 𝑓(𝑥)=𝑐 (fungsi konstan);

b. 𝑓(𝑥)=𝑎𝑥+𝑏 (fungsi linier) dimana 𝑎 & 𝑏 konstan dan 𝑎≠0;

c. 𝑓(𝑥)=𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐 (fungsi kuadrat) dimana 𝑎,𝑏,𝑐∈𝑅 𝑑𝑎𝑛 𝑎≠0.

Ketiga macam bentuk fungsi tersebut memiliki nilai fungsi yang bervariasi. Dengan demikian dapat disimpulkan sebagai berikut :

a. Pada bentuk fungsi 𝑓(𝑥)=𝑐, nilai fungsi selalu tetap walaupun variabel 𝑥 berubah.

b. Pada bentuk fungsi 𝑓(𝑥)=𝑎𝑥+𝑏, nilai fungsi berubah jika variabel 𝑥 berubah.

c. Pada bentuk fungsi 𝑓(𝑥)=𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐, nilai fungsi berubah jika variabel 𝑥 berubah.

Sifat Fungsi

Dari pengamatan terhadap anggota-anggota atau elemen-elemen pada setiap himpunan A dan B yang dihubungkan aatau direlasikan dalam suatu fungsi, maka kita mengetahui 3 sifat fungsi yaitu sebagai berikut :

  1. Fungsi Injektif (satu-satu)

Misalkan 𝑓 merupakan fungsi dari 𝐴 𝑘𝑒 𝐵 maka 𝑓 disebut fungsi satu-satu jika pada tiap unsur yang ada di daerah kodomain atau 𝐵 tepat berpasangan satu unsur dalam 𝐴 atau daerah domain. Maksudnya tidak adanya dua unsur dalam himpunan 𝐴 atau daerah domain yang dipetakan ke unsur yang sama di 𝐵. Jadi, dalam fungsi injektif ini jumlah anggota domain ≤ jumlah anggota daerah kodomain.

  1. Fungsi Surjektif (Onto)

Diberikan contoh bahwa 𝑓 (fungsi) memetakan himpunan 𝐴 𝑘𝑒 𝐵 maka daerah hasil 𝑓(𝐴) dari fungsi 𝑓 itu adalah himpunan bagian dari himpunan B, atau 𝑓(𝐴) ℎ𝑖𝑚𝑝𝑢𝑛𝑎𝑛 𝑏𝑎𝑔𝑖𝑎𝑛 𝐵. Apabila 𝑓(𝐴)=𝐵, yang artinya saban unsurnya di 𝐵 pasti merupakan peta dari sekurang-kurangnya satu unsur di 𝐴 maka kita katakan 𝑓 adalah suatu fungsi surjektif. Atau bisa dikatakan bahwa suatu fungsi yang daerah hasilnya merupakan himpunan daerah kawan, yang artinya setiap elemen di daerah kawan memiliki pasangan dengan anggota himpunan daerah asal dengan daerah kawan boleh sama. Jadi, Jumlah anggota daerah asal ≥ jumlah anggota daerah kawan.

  1. Fungsi Bijektif (Korespondensi satu-satu)

Suatu fungsi 𝑓:𝐴→𝐵 sedemikian rupa sehingga 𝑓 adalah fungsi yang injektif dan juga surjektif sekaligus, maka dapat dikatakan “𝑓 𝑎𝑑𝑎𝑙𝑎ℎ 𝑓𝑢𝑛𝑔𝑠𝑖 𝑏𝑖𝑗𝑒𝑘𝑡𝑖𝑓 ” atau “ℎ𝑖𝑚𝑝𝑢𝑛𝑎𝑛 𝐴 𝑑𝑎𝑛 𝐵 𝑏𝑒𝑟𝑎𝑑𝑎 𝑑𝑎𝑙𝑎𝑚 𝑘𝑜𝑟𝑒𝑠𝑝𝑜𝑛𝑑𝑒𝑛𝑠𝑖 𝑠𝑎𝑡𝑢−𝑠𝑎𝑡𝑢”. Atau dapat diartikan suatu fungsi yang setiap unsur atau elemen di daerah asal atau domain hanya mempunyai tepat satu pasangan di daerah kawan atau kodomain. Begitu juga sebaliknya, dimana setiap elemen di daerah kawan hanya memiliki tepat satu pasangan di daerah asal. Jadi, jumlah anggota daerah asal = jumlah anggota daerah kawan.

Relasi dan fungsi adalah lanjutan dari konsep himpunan yang sudah dipelajari. Biasakan menggambar relasi dan fungsi, sebab dalam dunia nyata materi ini pun juga digunakan. Misalnya sebagai bentuk pemetaan atas suatu daerah dengan hasil sumber daya alamnya.