Induksi matematika adalah proses untuk membuktikan rumus atau pernyataan umum dari kasus-kasus tertentu matematika. Atau kita bisa memaknainya sebagai metode untuk membuktikan terhadap suatu pernyataan, di mana pernyataan itu apakah bisa berlaku pada semua kasus? Kasus seperti apa sih yang dimaksud dan bisa diselesaikan dengan menggunakan induksi matematika?

Kita masuk ke dalam sebuah kasus dengan contoh sederhana saja. Misal, suatu deret bilangan berikut ini  , untuk nilai  yang tertentu, deret diatas kita dapat mencarinya. Contohnya, untuk  kita menemukan hasil bahwa . Jadi ternyata untuk , kita menemukan bahwa untuk jumlah deretnya adalah 3.

Lalu kita coba lagi untuk , maka seperti cara sebelumnya kita hitung dengan menjumlahkan deret tersebut, . Jumlah deret untuk  didapatkan 15.

Bagaimana dengan ? Tetap sama saja caranya yaitu . Untuk  jumlah deretnya adalah 28.

Tapi, selain menggunakan cara menual dengan menjumlahkan seluruh bilangan tersebut ternyata untuk menghitung jumlah deret tersebut untuk  merupakan bilangan asli ternyata sudah ada rumusnya. Jadi, untuk nilai  yang semakin besar, kita tidak perlu repot untuk meghitung dengan menjumlahkan satu persatu. Cukup masukkan nilai-nilai ke dalam rumusnya. Bagaimana rumusnya? Rumusnya adalah sebagai berikut :  .

Nah, dari rumus tersebut, kita hanya tinggal memasukkan nilai  ke dalam persamaan tersebut untuk menemukan deret yang diminta. Tapi, sebagai seorang yang sedang belajar kita tidak boleh langsung percaya dan menggunakan rumus tersebut tanpa kita tahu asal usulnya nih.

Kita harus banya bertanya, kok bisa dapat rumus itu? Apakah benar rumus itu berlaku untuk semua nilai  yang merupakan bilangan asli? Bagaimana cara membuktikannya?

Konsep Dasar Induksi Matematika

Ada dua langkah yang berbeda dalam pembuktian. Yang pertama, Tunjukkan dengan subtitusi yang sebenarnya bahwa pernyataan atau rumus yang dinyatakan adalah benar untuk satu harga  yang bulat positif. Seperti  dan seterusnya.

Kedua, Jika pernyataan atau rumus itu benar untuk . Maka buktikan bahwa pernyataan atau rumus tersebut juga benar untuk .

Sebelum kita masuk ke pembuktian dengan Induksi Matematika, maka kita cek dahulu, apakah nilai  itu benar untuk nilai  yang sebelumnya sudah kita hitung dengan cara manual?

Kita akan coba untuk hitung dari . Yaitu  maka di dapatkan . Jadi untuk , hasilnya benar 3.

Untuk , maka  di dapatkan nilainya . Jadi untuk , hasilnya benar 15.

Dan untuk , maka  di dapatkan nilainya . Jadi, untuk , hasilnya benar 28.

Untuk ketiga nilai  yang kita coba semuanya benar, apakah kita sudah bisa memastikan bahwa pembuktian itu sudah berlaku untuk seluruh nilai  bilangan asli? Dalam matematika kita tidak bisa melakukan generalisasi rumus dengan cara demikian. Kita harus membuktikan bahwa rumus  ini benar unruk semua nilai  bilangan asli. Dalam pembuktian secara manual diatas, pastinya akan sangat lama dan gak akan selesai karena saking banyaknya nilai  yang harus kita coba, sebanyak tak hingga. Itulah sebabnya kita bisa membuktikannya dengan memakai Induksi Matematika.

Seperti dua langkah dalam pembuktian yang sudah kita jabarkan sebelumnya, kenapa dua langkah itu bisa membuktikan  benar untuk semua nilai  bilangan asli?

Jawabannya adalah karena efek domino. Kartu domino yang biasa dimainkan itu hubungannya sama induksi matematika apa? Mari kita simak langkah berikut satu persatu.

Langkah 1 : buktikan bahwa  benar untuk . Maka untuk langkah satu ini kita tinggal memasukkan nilai  kedalam persamaan dan kita hitung. Untuk kesimpulannya 

Langkah 2 : Buktikan andai saja benar untuk , maka dia akan benar juga untuk . Karena pada langkah pertama kita sudah membuktikan bahwa  benar untuk , berarti ini benar juga untuk , dan benar juga untuk , dan seterusnya sampai  tak hingga.

Untuk memahaminya coba kita nyatakan langkah 1 dan langkah 2 dalam bentuk premis. Misalkan premis 1 menyatakan langkah 2, dan premis 2 menyatakan langkah 1. Jadinya :

Premis 1 : jika  benar untuk , maka  benar untuk 

Premis 2 :  benar untuk 

Maka kesimpulannya adalah karena nilai , maka , jadi  benar untuk . Jadi dilanjutkan bahwa kesimpulan ini kita masukkan ke dalam premis 2.

Premis 1 : jika  benar untuk , maka  benar untuk 

Premis 2 :  benar untuk .

Kesimpulannya adalah sama seperti cara sebelumnya yaitu  benar untuk . Masih akan kita lanjutkan. Untuk kesimpulan ini kita jadikan premis 2 lagi.

Premis 1 : jika  benar untuk , maka  benar untuk 

Premis 2 :  benar untuk 

Kesimpulannya adalah sama seperti cara sebelumnya yaitu  benar untuk . Dan proses ini bisa dilanjutkan sampai dengan proses ke tak hingga. Dan kita akan mendapatkan kesimpulan bahwa  benar untuk semua  bilangan asli. Itulah alasan efek domino dikaitkan dengan Induksi Matematika. Meskipun kita menjatuhkan satu domino yang pertama maka akan berakibat pada seluruh domino yang jatuh secara bergantian.

Pembuktian dengan Induksi Matematika

Buktikan dengan induksi matematika bahwa untuk semua harga  bulat positif!

Langkah 1. Rumus adalah benar untuk , karena  

Langkah 2. Andaikan rumus adalah benar untuk . Maka, 

Tambahkan suku ke  pada kedua sisi persamaan ini. Maka, .

Sisi kanan dari persamaan ini = . Yang merupakan harga dari  apabila  diganti dengan 

Sehingga apabila rumus adalah benar untuk  maka rumus adalah benar untuk . Tetapi rumus berlaku untuk  sehingga berlaku untuk  dan seterusnya. Jadi rumus adalah benar untuk harga  bulat positif.

Penalaran Deduktif

Penalaran deduktif adalah suatu proses penalaran dari satu atau lebih tentang pernyataan-pernyataan untuk mendapatkan suatu kesimpulan yang pasti.

Dari definisi ini, penalaran deduktif itu sifatnya pasti. Dalam penalaran deduktif ini tidak ada generalisasi. Contoh :

Premis 1 : Semua orang akan meninggal

Premis 2 : Andi adalah orang

Kesimpulan : Andi akan mati

Contoh tersebut adalah suatu contoh sederhana terkait penalaran deduktif. Apabila premis 1 dan premis 2 benar, maka kesimpulan sudah pasti benar juga.

Penalaran Deduktif dalam Matematika

Penalaran deduktif merupakan pusatnya matematika. Semua operasi di matematika yang kita lakukan itu dasarnya merupakan penalaran deduktif. Contoh sederhana :

Premis 1 : 

Premis 2 : 

Kesimpulan : 

Jadi asumsi premis 1 dan 2 itu benar maka kesimpulannya bahwa  merupakan kesimpulan yang valid.