Limit

Dalam kehidupan sehari-hari, muncul berbagai permasalahan yang dapat melahirkan suatu konsep matematika. Sebagai contoh seseorang memandang jalan raya yang lurus dan dia melihat kendaraan yang bergerak melintasi jalan raya tersebut semakin jauh dan melihat ukuran kendaraan itu yang terlihat semakin mengecil.

Hal ini berarti mata manusia memiliki jarak pandang yang terbatas. Bukan hanya pada jarak pandang manusia yang memiliki batas, namun juga pada batas pendengaran, batas kemampuan untuk memikul beban, dan lain sebagainya. Jadi limit yang kita bahas kali ini akan mengkaji tentang “batas” terlebih dahulu.

Menemukan Konsep Limit

Bilangan bulat manakah yang terdekat dengan bilangan 3? Kita bisa menjawabnya dengan menyebutkan 2 atau 4. Namun jika pertanyaan diubah menjadi, bilangan real manakah yang terdekat dengan bilangan 3? Pasti jawabannya banyak sekali karena saking banyaknya bilangan real yang dekat dengan bilangan 3, namun bilangan manakah dari bilangan real tersebut yang terdekat dengan 3?

Misalkan jawaban dari pertanyaan tersebut adalah 2,75 atau 3,25. Apakah jawaban tersebut paling tepat berdasarkan pertanyaan tadi? Pastinya belum, karena masih banyaknya bilangan real yang lebih dekat dengan 3. Misalkan lagi bilangan lain yang terdekat dengan 3 adalah 2,99 atau 3,01. Apakah jawaban ini juga sudah paling tepat untuk pertanyaan tadi? Belum lagi, masih ada yang lebih dekat lagi.

Misalkan lagi, bilangan 2,9999 atau 3,0001. Apakah bilangan ini merupakan jawaban yang paling tepat. Pasti tidak. Dan jika dilanjutkan sampai terus tak hingga banyak kita tidak akan menemukan yang paling tepat. Karena banyaknya bilangan yang mendekati 3 adalaah tak hingga banyak. Nah, lalu ilustrasi dari pertanyaan tersebut, dekat yang dimaksud itu seperti apa?

Dari sini kita bisa melihat sekelompok bilangan real mendekati 3 dari bagian kiri dan sekelompok bilangan real lainnya mendekati 3 dari arah kanan. Namun hanya ada satu bilangan terdekat dengan 3 dari kiri dan kanan.

Jika kita misalkan  sebagai variabel yang menggantikan bilangan-bilangan yang mendekati 3 tersebut, maka  akan disebut mendekati 3 dan dituliskan . Dan jika bilangan itu mendekati 3 dari kiri maka ditulis  dan sebaliknya jika didekati dari kanan maka bisa ditulis .

Definisi Limit

Amatilah fungsi . Maka kita tentukan nilai dari fungsi  pada saat  mendekati 2 dengan memisalkan .

11,91,99922.0012,13
22,92,999?3,0013,14

Jika kita perhatikan dari tabel tersebut kita melihat ada beberapa pengamatan dari kita. Pertama, ada banyak sekali bilangan real yang mendekati 2 sampai tak hingga banyaknya. Kedua, setiap titik pada sumbu  memiliki pasangan pada sumbu Ketiga, Setiap nilai pada fungsi mendekati 3 pada saat  mendekati 2. Keempat, dan pendekatan ke angka 3 didekati dari sisi kiri dan sisi kanan.

Secara matematis, nilai-nilai fungsi  adalah mendekati 3 pada saat  mendekati 2. Kita dapat menuliskan hasil tersebut dalam bentuk matematika yaitu .

Dapat disimpulkan definisi dari limit adalah  yang artinya adalah  dekat tetapi berbeda dengan , jadi  dekat ke L.

Sifat-sifat Limit Fungsi

Untuk  konstanta,  bilangan nyata,  dan  adalah fungsi yang mempunyai limit di , berlaku teorema sebagai berikut :

  1. ±±

Limit Fungsi Aljabar Bentuk Tak Tentu

Hitunglah nilai fungsi  untuk . Maka,  yang tidak ada artinya atau  merupakan bentuk tak tentu. Namun apa yang terjadi pada  jika ? Maka kita bisa menggunakan pendekatan limit .

00,50,9911,011,52
11,51,99?2,012,53

Dari tabel tersebut dapat kita lihat bahwa untuk  mendekati 1 didapatkan  mendekati 2, yang artinya . Namun selain menggunakan tabel diatas, kita bisa menemukan nilai limit  untuk  mendekati 1 dengan menggunakan metode pemfaktoran aljabar. Yaitu .

Menemukan Konsep Fungsi Turunan

Turunan adalah sebuah dasar fondasi dalam upaya analisis guna membantu memecahkan masalah terutama dalam kehidupan sehari-hari untuk manusia. Kita diharapkan mampu untuk memahami berbagai konsep dan prinsip turunan fungsi.

Untuk menemukan konsep turunan kita akan mencoba mengamati berbagai permasalahan di kasus yang ada dalam kehidupan sehari-hari. Dimulai dengan menemukan konsep garis tangen dan garis sekan.

Misalkan, seorang pemain ski meluncur satu arah di permukaan gunung es yang landai. Pemain ski tersebut meluncur turun lalu jadi naik mengikuti lekukan permukaan es karena kecepatannya, sehingga suatu saat dia melayang ke udara dan mendarat kembali ke permukaan.”

Secara analisis, misal gunung es kita ibaratkan adalah seperti kurva. Pemain ski dimisalkan sebuah garis yang tegak lurus ke papan ski serta papan ski adalah sebuah garis lurus lainnya. Bisakah kita menunjukkan hubungan kedua garis tersebut?

Posisi tegak pemain terhadap papan ski adalah sebuah garis yang disebut dengan garis normal. Papan ski menyinggung permukaan gunung es di saat melayang ke udara adalah sebuah garis yang menyinggung kurva disebut garis singgung. Jadi, garis singgung tegak lurus dengan garis normal. Lalu bagaimana hubungan garis singgung dengan kurva?

Misal pemain ski bergerak dari titik  dan melayang ke udara pada titik  sehingga dia bergerak dari titik  mendekati titik . Semua garis yang menghubungkan titik  disebut tali busur atau garis sekan dengan gradien .

Amatilah proses matematis berikut ini. Misalkan   dan , jika  semakin kecil maka  akan bergerak mendekati .

Jika  maka gradien garis sekan  adalah : 

Jika titik  mendekati  maka  sehingga diperoleh garis singgung di titik  dengan gradien : 

Turunan sebagai Fungsi Aljabar

Untuk menentukan turunan fungsi aljabar dapat digunakan rumus berikut.

Misalkan  serta  adalah fungsi, kemudian  dan  merupakan konstanta. Akan berlaku rumus-rumus turunan berikut.

Sebagai contoh :

Tentukan turunan fungsi-fungsi berikut ini!

Penyelesaian :

Untuk  maka 

Untuk nilai  = maka 

Dan untuk nilai dari  =  maka, 

Aplikasi Konsep Turunan untuk Menentukan Kecepatan dan Percepatan

Kita telah mempelajari bahwa turunan adalah sebuah laju perubahan dari fungsi terhadap variabelnya. Apabila fungsinya merupakan fungsi jarak (s) terhadap waktu (t), turunannya merupakan fungsi kecepatan.

Fungsi jarak : 

Fungsi Kecepatan : 

Dengan menentukan turunan fungsi kecepatan (v) terhadap waktu (t) akan didapatkan fungsi kecepatan yang merupakan perubahan kecepatan terhadap waktu.

Fungsi percepatan :