Haloo  sahabat hebat!!

Pada tau gak sih contoh sederhana dari Barisan dan Deret Aritmatika dalam kehidupan sehari – hari apa? Salah satu contohnya itu bisa kita lihat saat pembagian uang saku lhooo.. Contohnya Dodit, waktu dia kelas 1 SD ibunya memberi dia uang saku 2000, kemudian saat dia naik kelas 2 SD ibunya memberi dia uang saku 4000, dan saat kelas 3 SD uang sakunya menjadi 6000 sehari. Demikian kenaikan uang sakunya setiap tahun. Kalau kita urutkan uang saku dodit akan menjadi 2000, 4000, 6000, dan seterusnya akan naik setiap tahun sebesar 2000. Jika kenaikan uang saku tersebut naik secara tetap setiap tahunnya, maka kenaikan uang saku Dodit merupakan contoh barisan Aritmatika. 

Pada pembahasan kita kali ini, kita akan belajar mengenai Baris dan Deret. Perlu teman – teman ketahui bahwa Baris dan deret dibagi menjadi 2 :
1. Baris dan Deret Aritmatika
2. Baris dan Deret Geometri
Supaya teman – teman tau lebih dalam lagi, yukk kita pelajari bersama tentang Barisan dan Deret!

BARISAN ARITMATIKA


Barisan Aritmatika atau biasa kita simbolkan dengan (Un) adalah suatu barisan yang mempunyai pola operasi penjumlahan atau pengurangan secara tetap (konstan). Dimana pada setiap suku Barisan Aritmatika memiliki selisih yang sama. Dan selisih pada setiap suku biasa kita sebut sebagai beda. Contoh :

3, 6, 9, 12, …

Pada barisan diatas, suku pertamanya adalah 3. Simbol dari suku pertama kita buat sebagai a dan suku keduanya(U2) adalah 6 dan suku ketiganya (U3) adalah 9 dan seterusnya yaa.. Dan kita dapat lihat selisih atau beda antara suku adalah 3. Kalau nanti kamu temukan beda/ selisih dari suatu Barisan Aritmatika bernilai negatif, itu berarti barisan Aritmatika tersebut merupakan barisan aritmatika turun. Kalau beda/ selisihnya berupa bilangan positif, barisan Aritmatika tersebut  merupakan barisan Aritmatika naik.. Untuk mencari nilai beda pada Barisan aritmatika bisa dirumuskan seperti ini :

b = U– Un-1 atau 

Mudah kan? tapi gak cuma sampai disitu loh, misalnya kamu mau cari suku ke-13. Kamu bisa saja menambah 3 setiap suku sampai suku ke-13. Tapi cara yang kayak gitu akan memakan banyak waktu, yang ada kamu sudah malas deluan menambahkannya. Masalah yang seperti ini dapat diselesaikan dengan rumus matematika loh.. Coba perhatikan rumus dibawah ini :

Un = a + (n-1)b
Un = suku ke-n
a   = suku pertama
n = bilangan yang dicari
b = beda atau selisih
contoh :

Diketahui barisan aritmatika sebagai berikut :
3, 6, 9, 12, 15, …

Tentukan :
a) beda
b) suku ke-9

Penyelesaian :

  1. b = Un – Un-1
      = U4 – U3
      = 12  – 9
      = 3
  2. U9 = a + (n-1)b
    = 3 + (9-1)3
    = 3 + (8)3
    = 3 + 24
    = 27

Suatu barisan aritmatika memiliki suku pertama 7 dan suku ke-2 adalah 11. Tentukan :
a) beda
b) suku ke-15

Penyelesaiannya :
a) b  = Un – Un-1
        = U2 – U1
             = 11  – 7
             = 4

b) U15 = a + (n-1)b
= 7 + (15-1) 4
= 7 + (14)4
= 7 + 56
= 63


Suku ke-2 dari suatu barisan Aritmatika adalah 5. Suku ke-5 adalah 17, tentukan suku ke-10!
Penyelesaian :
Untuk kasus seperti ini, teman2 tidak perlu mengurutkan bilangannya lohh.. karena nantinya akan memakan banyak waktu, padahal soal seperti ini sangat mudah dikerjakan dengan rumus berikut :

setelah mendapat nilai b = 4, kita juga perlu mencari suku pertama (a) dengan mengurangkan suku ke-2 dengan beda yang kita dapat .

a = U2 – b
  = 5 – 4
  = 1
Kemudian, kita sudah bisa langsung gunakan rumus utama (Un)untuk mencari suku ke-10!

Maka dengan mudah kita dapat temukan suku ke-10 dari barisan Aritmatika tersebut bernilai 37

DERET ARITMATIKA

Kalau sebelumnya kita sudah mengetahui apa itu barisan Aritmatika, sekarang saatnya kita mengetahui apa itu deret Aritmatika. Deret Aritmatika (Sn)adalah jumlah bilangan ke-n dari Barisan Aritmatika. Selain mengetahui suku pada suatu barisan, kita juga bisa lohh mengetahui jumlah dari suku tersebut dengan menggunakan rumus deret Aritmatika seperti dibawah ini :

atau

dimana :
Sn = Jumlah suku ke-n
a  = Suku pertama
b  = beda
Un = Suku ke-n

Rumus pertama dan kedua bisa teman – teman pilih untuk mencari jumlah suku pada suatu barisan Aritmatika. Apabila teman – teman sudah mendapatkan nilai Un, maka teman – teman bisa langsung menggunakan rumus pertama. namun, jika teman – teman belum menemukan nilai Un, bisa juga menggunakan rumus kedua. 

Contoh bentuk deret aritmatika :
U1 +U2 +U3 +U4 +U5 +U6 +…+Un

2+4+6+8+10+12+14+16+…+Un

3+9+12+15+18+21+24+27+…+Un

Supaya kamu semakin mengerti, coba simak contoh soal dibawah ini!
Diketahui sebuah deret Aritmatika :
1+4+7+10+…

Tentukan jumlah suku ke-6 pada deret tersebut!

Diket :
a = 1
b = 7-4 = 3
n = 6
Penyelesaian


Suatu deret Aritmatika diberikan sebagai berikut :
-17+(-13)+(-9)+(-5)+….
Tentukan Jumlah suku ke-10!

Diket :
a = -17
b = -13 – (-17) = 4
n = 10
Penyelesaian :

Dalam mengerjakan soal – soal Barisan dan Deret Aritmatika, kamu hanya perlu memasukkan nilai yang diperoleh kedalam bentuk rumus, dan operasi penyelesaian pada rumus masih sangat sederhana. Dimana pada rumus tersebut hanya menggunakan operasi perkalian, pembagian, penjumlahan, dan pengurangan. 

BARISAN GEOMETRI

Barisan geometri tidak jauh berbeda dengan konsep Barisan Aritmatika loh.. Barisan Geometri ini merupakan barisan bilangan yang memiliki pola perbandingan tetap, atau sederhananya barisan bilangan yang hasil bagi 2 suku memiliki nilai rasio(perbandingan) yang tetap. Kalau sebelumnya pada barisan Aritmatika kita menggunakan beda/ selisih dalam penyelesaiannya. Namun pada barisan Geometri kita akan menggunakan Rasio (r) dalam penyelesaian. Cara mencari nilai rasio (r) adalah seperti berikut ini :

U1, U2, U3, U4, U5, …
r = Un/Un-1
r = U2/U1 = U5/U4

Bentuk umum dari barisan geometri bisa dibuat : a, ar, ar2, …, arn

Maka dari itu, kamu harus terlebih dahulu mendapatkan nilai a dan r dari barisan geometri, bila kamu sudah mendapatkan nilai a dan r. Kamu bisa langsung mencari suku ke-n dari Barisan Geometri.

Rumus mencari suku ke-n dari barisan geometri jauh lebih sederhana dari barisan aritmatika, dimana bentuk rumusnya :

Un = arn-1

Bagaimana? mudah bukan?? Syaratnya hanya perlu mengetahui nilai a dan nilai r saja, maka kita bisa langsung mencari nilai Un. Untuk lebih memahami, kita langsung ke contoh soal saja yaa!

Diketahui deret geometri :
3, 6, 12, 24, …
Tentukan nilai suku ke-6!


penyelesaian :
a = 6
r = U3 / U2

  = 12/ 6
  = 2

U6 = ar6-1
    = 6(2)5
    = 6 (32)
    = 192


Pak Akbar memiliki usaha yang memproduksi kerajinan tangan meningkat setiap bulannya. Peningkatan produksi pak Akbar pada bulan pertama sebanyak 150 unit kerajinan, dan pada bulan ke-3 sebanyak 1,350 unit kerajinan. Hasil produksi pada bulan ke-5 adalah?


penyelesaian :
Bulan pertama produksi pak Akbar di anggap suku pertama (a), demikian untuk suku ke-2, suku ke-3 dan seterusnya berdasarkan setiap bulan.

U1 = 150
U3 = 1,350
Jika teman – teman mendapatkan soal seperti diatas, tidak usah bingung, kamu bisa langsung melakukan perbandingan untuk mendapatkan nilai r sekalipun kamu tidak tahu nilai U2

setelah kita mengetahui nilai a dan nilai r, kita bisa langsung cari nilai Un dari soal diatas dengan menggunakan rumus umum barisan geometri.
Un = arn-1

U= 150 (3)5-1
U= 150 (3)4
U= 150 (81)
U= 12,150
maka kita dapati hasil produksi kerajinan Pak Akbar pada bulan ke-5 adalah 12,150

DERET GEOMETRI

Pada Deret Geometri (Sn) ini memiliki prinsip yang sama dengan deret Aritmatika, dimana Deret Geometri merupakan jumlah suku ke-n pada suatu barisan dan deret. Lalu, seperti apa rumus mencari deret ini? Gampang! kamu tidak perlu takut untuk gagal menyelesaikan Deret Geometri ini, coba perhatikan rumusnya :

misalnya kita mempunyai suatu deret geometri :
1+2+4+8+16+…
Dimana
S1 = 1
S2 = 1+2= 3
S3 = 1+2+4 = 7
Jika kita ingin mengetahui Jumlah suku ke-7, bisa saja dengan menambahkan terus menerus hingga suku ke-7. Tapi itu pasti memerlukan waktu yang lama bukan? Kalau kita menggunakan rumus, kita akan mendapatkan jawabannya lebih cepat loh..
Berikut hasilnya :

Seperti biasa, untuk mempertajam materi ini. kita perlu perhatikan contoh soal berikut :

Diberikan Deret Geometri : 5+10+20+40+… tentukan :
a) rasio
b) S7

Penyelesaian :
a = 5
r = U2/U1
  = 10/5
  = 2


Suatu deret Geometri mempunyai suku keenam 32 dan suku kesepuluh 512. Tentukan rasio (r), dan jumlah suku kesepuluh dari deret Geometri tersebut!

Penyelesaian :
U6  = 32
U10 = 512
Pertama, kita mencari nilai r dengan membandingkan U6 dan U10

sekarang, kita perlu mencari nilai a dengan cara berikut :

Setelah mendapat nilai a dan r, kita bisa langsung cari jumlah suku ke-10 dengan menggunakan rumus.

Bagaimana? Tidak terlalu sulit kan? kunci utamanya harus sering berlatih agar kamu bisa menyelesaikan masalah Barisan dan Deret dengan sangat mudah. Selamat berlatih!